МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА» Розрахункова робота з дисципліни: «Вища математика, ч.4. Теорія ймовірностей та математична статистика» 3 варіант  Задано щільність розподілу випадкової величини
:

,
;
,
. Знайти сталу
, а також
і
якщо
. Розв’язання: Стала
з умови нормування:
,

( інтеграл від непарної функції по симетричному відрізку)
Тоді

Знайти характеристичну функцію для випадкової величини


,
;
,
. За знайденою характеристичною функцією знайти
та
Розв’язання: Характеристична функція:
Розкладаємо в ряд Тейлора до 2-го порядку:
Тоді коефіцієнт при
:
,
Коефіцієнт при
:
,
І тоді дисперсія :
а) Дано
,
. Оцінити
. б) Послідовність незалежних випадкових величин задана законом розподілу:


 


  Чи можна для цієї послідовності застосувати теорему Чебишова ? Розв’язання: а) Оцінимо:
б) Знайдемо
є не константа, всі
різні, тому теорему Чебишева застосовувати не можна. Дано розподіл двовимірного дискретного випадкового вектора
:
-4 0 4 
 -2 0 
0,2 
 -1 0,1 0,1 0,1 0,3  0 0,1 0,1 0 0,2  
0,2 
0,3 
  Знайти невідому сталу
, розподіл компонент, коваріацію, коефіцієнт кореляції. Перевірити чи компоненти є незалежними. Розв’язання: Стала
з умови нормування
, отже
Розподіл компонент з останнього рядка і останнього стовпця розширеної таблиці:
-4 0 4  
0,2 0,5 0,3  
-2 -1 0  
0,5 0,3 0,2   Обчислюємо характеристики:





Тоді коваріація:
І коефіцієнт кореляції:
Дано щільність двовимірного неперервного випадкового вектора
:

,
;
,
. Знайти невідому сталу
, розподіл компонент, коваріацію, умовну щільність компоненти
за умови, що
. Розв’язання: Стала
з умови нормування:
, тому
Розподіл компонент:

,

,


,

,
Коваріація:
, бо
,
і
- незалежні. Умовна щільність:

,

,
Кількість відсутніх на заняттях у 25 групах 14 грудня виявилась такою: 4, 5, 4, 3,7, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 4, З, 5, 4, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 3, 2, 7, 2. Записати статистичний і варіаційний ряд. Знайти розмах вибірки, моду, медіану. Обчислити середнє значення, вибіркову і незміщену дисперсії, асиметрію, ексцес, коефіцієнт варіації, емпіричну функцію розподілу і полігон частот. Розв’язання: Статистичний ряд:
0 1 2 3 4 5 7  
1 2 5 6 6 3 2   Варіаційний ряд ( 25 чисел в порядку зростання): 0112222233333344444455577 Мода:
( два сусідніх значення
та
мають найбільшу частоту 6) Медіана:
(рівно 13-те значення варіаційного ряду, посередині із 25-ти значень). Розмах вибірки:
Полігон частот: / Запишемо таблицю:





 0 1 0 0 0 0  1 2 2 2 2 2  2 5 10 20 40 80  3 6 18 54 162 486  4 6 24 96 384 1536  5 3 15 75 375 1875  7 2 14 98 686 4802  
25 83 345 1649 8781  
 3,32 13,8 65,96 351,24    



  В останньому рядку маємо початкові моменти вибірки перших чотирьох порядків. Дисперсія:

Тоді центральні моменти вибірки для 3 і 4 порядків обчислимо:

Асиметрія:
Ексцес:
Коефіцієнт варіації:
Незміщена дисперсія:
Рейтинг студентів у навмання вибраній групі є таким: 13, 40, 80, 45, 98, 75, 48, 39, 85, 67, 39, 45, 38, 70, 79, 88, 98, 49, 85, 67, 39, 45, 64, 59, 55. Згрупувати дані. За згрупованими даними знайти середнє значення і порівняти його із дійсним середнім значенням. Побудувати гістограму. Розв’язання:


Дійсне середнє значення:
Число інтервалів групування:
Вибираємо
. Тоді
Інтервальний розподіл: Інтервал [13,30) [30,47) [47,64) [64,81) [81,98]  
1 8 5 6 5  
центр інтервалу 21,5 38,5 55,5 72,5 89,5   Середнє груповане значення:
Бачимо, що
та
приблизно рівні. Обчислимо:
Гістограма: / Методом моментів і методом ...